初三华东师大版数学下二次函数的图象与性质知识点

admin 2021年12月17日13:40:27
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摘要

在二次函数的题中,我们经常会遇到一次函数与二次函数相交的境况。查字典数学网为大家整理了二次函数的图象与性质知识点,希望对大家有帮助!

在二次函数的题中,我们经常会遇到一次函数与二次函数相交的境况。查字典数学网为大家整理了二次函数的图象与性质知识点,希望对大家有帮助!文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

知识点文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

函数图像文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

y=ax^2+bx+c文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向, a>0时,开口方向向上, a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

则称y为x的二次函数。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

表达式文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h,k)]文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

交点式:y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A(x₁ ,0)和 B(x₂,0)的抛物线]文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

图象文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图象,文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

可以看出,二次函数的图象是一条抛物线。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

性质文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

|a|越大,则抛物线的开口越小。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

抛物线与y轴交于(0,c)文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

6.抛物线与x轴交点个数文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

Δ= b方-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

Δ= b方-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

Δ= b方-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

位置关系文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2 +k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

解析式 顶点坐标 对 称 轴文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

y=ax^2 (0,0) x=0文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

y=a(x-h)^2 (h,0) x=h文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

y=a(x-h)^2+k (h,k) x=h文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

y=ax^2+bx+c (-b/2a,[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象;文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

当h<0 k="">0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而减小.文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

(2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x₁,0)和B(x₂,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

当△=0.图象与x轴只有一个交点;文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

当△<0 x="" a="">0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x= -b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

课后练习文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

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二次函数的图象与性质知识点的全部内容就是这些,不知道大家是否已经都掌握了呢?预祝大家可以更好的学习,取得优异的成绩。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

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