初三华东师大版数学下二次函数的图象与性质知识点

admin 2021年12月17日13:40:27
评论
182 334字阅读1分6秒
摘要

在二次函数的题中,我们经常会遇到一次函数与二次函数相交的境况。查字典数学网为大家整理了二次函数的图象与性质知识点,希望对大家有帮助!

在二次函数的题中,我们经常会遇到一次函数与二次函数相交的境况。查字典数学网为大家整理了二次函数的图象与性质知识点,希望对大家有帮助!文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

知识点文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

函数图像文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

y=ax^2+bx+c文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向, a>0时,开口方向向上, a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

则称y为x的二次函数。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

表达式文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h,k)]文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

交点式:y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A(x₁ ,0)和 B(x₂,0)的抛物线]文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

图象文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图象,文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

可以看出,二次函数的图象是一条抛物线。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

性质文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

|a|越大,则抛物线的开口越小。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

抛物线与y轴交于(0,c)文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

6.抛物线与x轴交点个数文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

Δ= b方-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

Δ= b方-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

Δ= b方-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

位置关系文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2 +k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

解析式 顶点坐标 对 称 轴文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

y=ax^2 (0,0) x=0文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

y=a(x-h)^2 (h,0) x=h文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

y=a(x-h)^2+k (h,k) x=h文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

y=ax^2+bx+c (-b/2a,[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象;文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

当h<0 k="">0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而减小.文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

(2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x₁,0)和B(x₂,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

当△=0.图象与x轴只有一个交点;文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

当△<0 x="" a="">0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x= -b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

课后练习文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

初三华东师大版数学下二次函数的图象与性质知识点文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

二次函数的图象与性质知识点的全部内容就是这些,不知道大家是否已经都掌握了呢?预祝大家可以更好的学习,取得优异的成绩。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/206.html

  • 我的微信
  • 微信扫一扫
  • weinxin
  • 我的微信公众号
  • 微信扫一扫
  • weinxin
admin
  • 本文由 发表于 2021年12月17日13:40:27
  • 转载请务必保留本文链接:http://www.duolaoshi.cn/206.html
匿名

发表评论

匿名网友 填写信息

:?: :razz: :sad: :evil: :!: :smile: :oops: :grin: :eek: :shock: :???: :cool: :lol: :mad: :twisted: :roll: :wink: :idea: :arrow: :neutral: :cry: :mrgreen: