从商高定理到费马大定理

admin 2021年12月18日17:50:13
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勾股定理在初中平面几何课本中就学习过,其内容如下:“在直角三角形中,斜边(弦)的平方等于两直角边(短者叫勾,长者叫股)平方的和”。

勾股定理在初中平面几何课本中就学习过,其内容如下:“在直角三角形中,斜边(弦)的平方等于两直角边(短者叫勾,长者叫股)平方的和”。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/247.html

对这一定理的研究,我国古代数学家作出了巨大的贡献。约在公元前100年成书的我国现存最古的一部数学典籍《周髀算经》中记载,在公元前1100多年我国数学家商高与周公谈话中就明确提出了“勾广三,股修四,弦隅五”,且在同一书中记载的荣方与陈子的问答中,更谈到由勾股求弦的一般方法是“勾股各自乘,并而开方除之”,可见已给出了普遍的勾股定理。正因为商高首先提出了勾股定理,不少人把该定理称之为商高定理。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/247.html

在商高定理的研究方面作出贡献的除中国古代数学家外,还有许多别的国家和民族的数学家,特别是古希腊、埃及、印度的数学家。公元前六世纪,古希腊数学家毕达哥拉斯(公元前582年一前497年)是西方第一个证明勾股定理的人,国外常称其为毕达哥拉斯定理,相传当毕氏找到证明商高定理的方法后,欣喜若狂,杀了100头牛祭奉庆贺,故西方人亦称之为“百牛定理”,而毕氏的证明早已失传。古今中外有许多人探索商高定理的证明方法,不但有数学家,还有物理学家,甚至画家、政治家。如赵爽(中)、梅文鼎(中)、欧几里德(希腊)、辛卜松(英)、加菲尔德(美第二十届总统)等等。其证明方法达数百种之多,这在数学史上是十分罕见的。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/247.html

我国古代数学家商高发现了直角三角形勾、股、弦有3、4、5的关系,故人们称满足勾股弦的各组正整数为商高数。若以方程的观点来看,方程从商高定理到费马大定理的正整数解称为商高数。商高数除3、4、5外,还有5,12,13;7,24,25;8,15,17;12,35,37;20,21,29等无穷多组。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/247.html

求方程从商高定理到费马大定理的整数解实际上是个不定方程问题。关于不定方程的研究我国最早,约在公元50年(东汉初年)成书的数学名著《九章算术》中出现了世界上最早的不定方程问题(“五家共井”问题),且该书给出了多组商高数。我国第三世纪数学家刘徽曾为《九章算术》作注(公元263年),明确给出了商高数的一般公式。古希腊数学家丢番图(公元246年一330年)研究了整系数不定方程的整数解文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/247.html

(这类问题被称为丢番图方程),以著作《算术》名世,记述了189个不定方程问题。不定方程从商高定理到费马大定理的全部原始解(两两互素的解)的公式是文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/247.html

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其中m,n(m>n)是互素的且一奇一偶的任意正整数。其实丢番图没有给出这个公式,中国的刘徽在《九章算术》注中用文字表述了这个公式,并作图加以证明(图已失传,图的说明传下来了),这也是我国古代数学家的一大成就。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/247.html

相隔1400多年,约公元1637年,费马(公元16011665)在丢番图的校注本《算术》第2卷第8命题“把一个平方数分为两个平方数”旁的空白处,写了一段批语:“把一个立方数分为两个立方数,一个四次幂分为两个四次幂,或一般地,把一个高于二次的幂分为两个同次的幂,这是不可能的,关于这一点,我已发现了一种巧妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下”。费马,法国人,律师,业余钻研数学,很少发表作品,一些数学成果常写在给朋友的信中或所读书的空白处,由后人收集整理出版。费马去世后,他儿子在整理他的遗物时发现了这段话,并于1670年公布于众。这就是引起世人关注的费马大定理,可表述为“当整数n>2时,方程没有正整数解。”文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/247.html

从费马时代起,人们不断进行费马大定理的试证工作。巴黎科学院曾先后两次提供奖章和奖金,布鲁塞尔科学院也悬赏重金,奖励证明该定理的人,但都无结果。1908年哥廷根皇家科学会悬赏十万马克,奖给最先证明这一定理的人,赏期100年。最初的证明是一个数一个数(或一部分数)的进行,但也不是那么简单的工作,不知多少人耗尽了无数心血,取得了一些成果。如高斯、欧拉、莱布尼茨、勒让德、狄里克雷、拉梅、库默尔等许多著名数学家都作出了突出的贡献。但都只是在某些特定条件下证明了这个定理,无疑离定理的证明还比较遥远。人们曾经在费马的遗稿、笔记、传抄本,甚至其它任何可能的地方,去寻找他的证明方法,但都落空了。这的确是个“谜”,人们不得不怀疑,费马是不是证明过这个定理,还文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/247.html

是在什么地方弄错了。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/247.html

直接证明费马大定理的艰巨困境促使人们按数学解决问题的传统,就是要作变换,把问题转化为已知的或易于解决的领域的新问题去解决。近三个多世纪来,经过包括黎曼、莫德尔等许多数学家艰苦卓绝、前赴后续的工作,把费马大定理与代数曲线上的有理点(坐标都是有理数的点)联系起来。种种转化推动了数学相关领域的发展,也推动了费马大定理的证明进程。英国年轻的数学家维尔斯(AWIles.1953一)利用19世纪以来研究并发展起来的椭圆函数理论及其研究成果,最终证明了费马大定理。1993年6月维尔斯长达200页的论文评审时,被发现其证明有漏洞,1993年7月他开始修改论文,补正漏洞,1994年9月维尔斯终于克服困难,重写了一篇108页的证明论文,10月寄往美国《数学年刊》,顺利通过审查,1995年5月《数学年刊》的41卷第3期上只登载了他的这一篇论文。维尔斯因此获得了国际上颇有影响的科学奖──1995/1996年度沃尔夫数学奖,这一成果被认为是“20世文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/247.html

纪最重大的数学成就”。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/247.html

历时几千年的两个定理,牵动着世界上不知多少代亿万人们的心,前人以坚韧的毅力,开拓创新的精神谱写了科学知识宝库中探宝的光辉篇章,还有许多宝藏等待后人开采。自然无限,创造永恒。同学们要努力学习,提高自身素质,不辜负时代重托,将来为人类作出更大贡献。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/247.html

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