五年级趣味数学抽屉原理

admin 2021年12月20日17:49:39
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五年级趣味数学抽屉原理

应用抽屉原理是解决一些数学竞赛题的一把钥匙。

什么是抽屉原理呢?抽屉原理可以这样表达:把(n+1)个物体,放进n个抽屉里去,不论怎样放法,至少有一个抽屉内的物体不少于2个。

A组:

1.有29个人都在2月份出生,其中一人说:“我的生日肯定和其他人重复。”这话对吗?

2.某校有366名1979年出生的学生,那么是否至少有2个学生的生日是同一天的?

3.参加数学竞赛的210名学生,能否保证有18名或18名以上的学生在同一个月出生?为什么?

4.一个袋子里有些球,这些球除颜色不同外,其他都相同。其中红球10个,白球9个,黄球8个,蓝球2个,某人闭着眼睛从其中取出若干个。试问他至少要取多少个球,方能保证至少有4个球颜色相同?

5.有黑色、白色、黄色的筷子各8根,混杂地放在一起,黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子,问至少要取多少根才能保证达到要求?(1986年“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题)

B组:

6.有红、黄、蓝、黑四种颜色的小球各若干个,每个人可以从中任意选择两个,那么需要几个人才能保证至少有2人选的小球颜色相同?为什么?

7.某电影院共有1987个座位,有一天,这家电影院上、下午各演一场电影。看电影的正巧是甲、乙两所中学的各1987名师生。同一所学校的学生有的看上午场,也有的看下午场。因此,有人推断说:“这天看电影时,肯定有的座位在上午、下午坐的是两所不同学校的师生。”你能说明这种断言正确与否吗?

8.10名乒乓球运动员进行单循环比赛(每两个运动员之间都要赛一场而且只赛一场)。证明每天比赛结束时,一定有两名运动员,他们累积比赛的场数是相同的。

9.在我国至少有两个人出生的时间相差不会超过4秒钟。你能证明这个结论是正确的吗?

C组:

10.证明在任何6个人的聚会上,总有3个人互相认识或者3个人互相不认识。

11.老师将一批课外读物随意分给10名学生,保证每个学生至少分到1本,可以肯定在这10名学生中,一定有一些学生所得到的书的总和是10的倍数吗?为什么?

12.从13个自然数中,一定可以找到两个,它们的差是12的倍数。

答案:

A组:1.不对。因为闰年2月份有29天,29个人有可能两两生日都不相同。

2.这道题中的“1979年”是平年,一年有365天,应用抽屉原理,把365天看作365个抽屉,把366名学生看作366本书,把366本书放到365个抽屉中,至少有一个抽屉中有2本书。因此,366名学生中至少有2名学生的生日是同一天的。3.这道题问的是在210名学生中能否有18名以上的学生是同一个月出生的。应用抽屉原理,把一年的12个月看作12个抽屉,把210名学生看作210本书,如果每个抽屉里放17本书,那么共放17×12=204(本),因为210>204,所以一定有18本或18以上的书在同一个抽屉里。因此,参加数学竞赛的210名学生中,肯定有18名或18名以上的学生在同一个月出生。

4.3+3+3+2+1=12(个)。

5.在黑暗中摸筷子,如果摸8根都是同一颜色,只能保证有一双筷子。再摸2根,如果颜色不同,一样一根,也不能配成一双。这时,10根筷子共有三种颜色,再摸一根,不论是什么颜色,总可以从“一样一根”的筷子中选出一根来配成一双。所以,至少要取出11根,才能保证取出颜色不同的两双筷子。

B组:6.这道题问的是需要几个人才能保证至少有2人选的小球颜色相同,那么从红、黄、蓝、黑四种颜色的小球中任意选择两个,有几种不同的选法呢?共有10种不同的选法:(1)红+红;(2)黄+黄;(3)蓝+蓝;(4)黑+黑;(5)红+黄;(6)红+蓝;(7)红+黑;(8)黄+蓝;(9)黄+黑;(10)蓝+黑。即10个人参加选,每人选的小球颜色不相同。应用抽屉原理,把10种选法看作10个抽屉,每人任意选2个球,需要有11人,才能保证至少有2人选的小球颜色相同。7.这种说法是正确的。甲乙两校师生都是1987名,电影院的座位也恰是1987个,上、下午两场共有1987×2人看电影,显然上、下午都满场。

由于电影院共有1987个座位,是个奇数,且为:993×2+1,因此,上午场看电影的师生中至少有一个学校的人数不少于994人,假设甲校看电影人数不少于994人,那么甲校下午看电影的人数不多于1987-994=993(人),这些学生即使全坐在上午甲校学生的座位上,也不能坐满,至少还余下一个座位,这个座位下午要坐的一定是乙校看电影的师生。8.由于比赛是单循环进行的,所以在整个比赛过程中每个运动员都要赛9场。这样在每天比赛结束时,都可以出现两种情况,一种情况是每一运动员都还没有赛9场,也就是说这9名运动员已经赛过的场数只可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8这9种。这9种可能性就是抽屉,元素是10名运动员,可见一定有两个人赛的场数是一样的。

还有一种情况,就是已经有某个运动员赛了9场,由于是单循环,不能还有运动员没有赛过。这样10名运动员赛过的场数只可能是1,2,3,4,5,6,7,8,9这9种。还是9个抽屉10个元素。

总之,无论是哪一种情况,一定有两个人赛的场数是一样多的。

9.首先我们要明确在我国有12亿人口,而每个人的寿命设为不超过110岁,这样我们看一看在110年里共包括多少个4秒间隔,这个数字也就是抽屉的个数,如果这个数小于12亿,那么就可以肯定有两个人出生的时间相差不超过4秒。

110年大致合4万天,一天有3600×24秒,这样在110年中共有3600×24×4万秒,于是4秒间隔数为3600×24×4万÷4=86400万,即八亿六千四百万。

这就是抽屉数,元素数是12亿。于是一定有两个人在同一抽屉里,也就是说,至少有两人出生时刻相差不到4秒。

C组:10.为了便于说明问题,我们在纸上取6个点A、B、C、D、E、F来代表6个人。如果两个人认识就用红线(图10-16中的实线)把代表他们的点连接起来,如果两个人互相不认识就用蓝线(图中的虚线)把代表两人的点连接起来,每两点之间都有一条红线或者蓝线连结着,这些点和线组成了若干个三角形。问题就转化了,如果有三个人互相认识(或不认识),那么以代表这三个人的三个点为顶点的三角形的三条边全是红色(或蓝色)的。

考虑从A点出发的五条线。由于它们不是红色的就是蓝色的,由抽屉原理知,至少有三条边的颜色是相同的,不妨设为AB、AC及AD为红色的。

下面考虑点B、C、D之间的连线。如果三条连线中至少有一条是红色的,假如BC是红色的,那么△ABC的三条边全是红色的,说明A、B、C三点代表的三个人互相认识;如果三条连线全是蓝色的,则△BCD的三条边都是蓝色的,说明B、C、D三点代表的三个人互相不认识。

11.题目是要证明有一些学生分得的课外读物的总和是10的倍数。所以可以把10个学生所分得的课外读物数的和写出来进行分析。设10个学生分得的课外读物的数分别是a1、a2、…、a10;再设s1=a1,s2=a1+a2,s3=a1+a2+a3,…,s10=a1+a2+…+a10;分别代表1个学生,2个学生……,10个学生所分得的书的总和。下面我们来分析s1,s2,s3,…,s10这10个数。自然数被10除时,余数只有10种可能的情况,即0,1,2,…,9。

把每一个s用10去除,都各自得到一个余数。如果每一个数被10除后的余数都不相同,则必有一个s被10除余数为0,比如是S7,也就是说,前7个学生所分得的课外读物的总和是10的倍数。否则根据抽屉原则,一定有两个s,它们被10除后所得的余数相等,不妨设为S2和S8;于是S8-S2就一定能被10整除。而s8-s2=a8+a7+a5+a4+a3,也就是说第3个学生至第8个学生分得的课外读物的总和是10的倍数。这样问题就全部解决了。

12.有了上一题的分析,这个题就变得十分简单了。设13个自然数为a1,a2,a3,…,a12,a13。用12去除每个a,得到13个商和余数。

由于自然数被12除时,只可能有12种不同的余数,这就是要找的抽屉,13个数是元素,于是一定有两个在同一抽屉里,即它们被13除时余数是相同的,不妨设为a7=12·q1+r,a11=12·q2+r,a7-a11=12(q1-q2)是12的倍数。问题得到解决。

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应用抽屉原理是解决一些数学竞赛题的一把钥匙。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

什么是抽屉原理呢?抽屉原理可以这样表达:把(n+1)个物体,放进n个抽屉里去,不论怎样放法,至少有一个抽屉内的物体不少于2个。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

A组:文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

1.有29个人都在2月份出生,其中一人说:“我的生日肯定和其他人重复。”这话对吗?文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

2.某校有366名1979年出生的学生,那么是否至少有2个学生的生日是同一天的?文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

3.参加数学竞赛的210名学生,能否保证有18名或18名以上的学生在同一个月出生?为什么?文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

4.一个袋子里有些球,这些球除颜色不同外,其他都相同。其中红球10个,白球9个,黄球8个,蓝球2个,某人闭着眼睛从其中取出若干个。试问他至少要取多少个球,方能保证至少有4个球颜色相同?文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

5.有黑色、白色、黄色的筷子各8根,混杂地放在一起,黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子,问至少要取多少根才能保证达到要求?(1986年“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题)文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

B组:文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

6.有红、黄、蓝、黑四种颜色的小球各若干个,每个人可以从中任意选择两个,那么需要几个人才能保证至少有2人选的小球颜色相同?为什么?文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

7.某电影院共有1987个座位,有一天,这家电影院上、下午各演一场电影。看电影的正巧是甲、乙两所中学的各1987名师生。同一所学校的学生有的看上午场,也有的看下午场。因此,有人推断说:“这天看电影时,肯定有的座位在上午、下午坐的是两所不同学校的师生。”你能说明这种断言正确与否吗?文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

8.10名乒乓球运动员进行单循环比赛(每两个运动员之间都要赛一场而且只赛一场)。证明每天比赛结束时,一定有两名运动员,他们累积比赛的场数是相同的。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

9.在我国至少有两个人出生的时间相差不会超过4秒钟。你能证明这个结论是正确的吗?文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

C组:文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

10.证明在任何6个人的聚会上,总有3个人互相认识或者3个人互相不认识。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

11.老师将一批课外读物随意分给10名学生,保证每个学生至少分到1本,可以肯定在这10名学生中,一定有一些学生所得到的书的总和是10的倍数吗?为什么?文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

12.从13个自然数中,一定可以找到两个,它们的差是12的倍数。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

答案:文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

A组:1.不对。因为闰年2月份有29天,29个人有可能两两生日都不相同。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

2.这道题中的“1979年”是平年,一年有365天,应用抽屉原理,把365天看作365个抽屉,把366名学生看作366本书,把366本书放到365个抽屉中,至少有一个抽屉中有2本书。因此,366名学生中至少有2名学生的生日是同一天的。3.这道题问的是在210名学生中能否有18名以上的学生是同一个月出生的。应用抽屉原理,把一年的12个月看作12个抽屉,把210名学生看作210本书,如果每个抽屉里放17本书,那么共放17×12=204(本),因为210>204,所以一定有18本或18以上的书在同一个抽屉里。因此,参加数学竞赛的210名学生中,肯定有18名或18名以上的学生在同一个月出生。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

4.3+3+3+2+1=12(个)。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

5.在黑暗中摸筷子,如果摸8根都是同一颜色,只能保证有一双筷子。再摸2根,如果颜色不同,一样一根,也不能配成一双。这时,10根筷子共有三种颜色,再摸一根,不论是什么颜色,总可以从“一样一根”的筷子中选出一根来配成一双。所以,至少要取出11根,才能保证取出颜色不同的两双筷子。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

B组:6.这道题问的是需要几个人才能保证至少有2人选的小球颜色相同,那么从红、黄、蓝、黑四种颜色的小球中任意选择两个,有几种不同的选法呢?共有10种不同的选法:(1)红+红;(2)黄+黄;(3)蓝+蓝;(4)黑+黑;(5)红+黄;(6)红+蓝;(7)红+黑;(8)黄+蓝;(9)黄+黑;(10)蓝+黑。即10个人参加选,每人选的小球颜色不相同。应用抽屉原理,把10种选法看作10个抽屉,每人任意选2个球,需要有11人,才能保证至少有2人选的小球颜色相同。7.这种说法是正确的。甲乙两校师生都是1987名,电影院的座位也恰是1987个,上、下午两场共有1987×2人看电影,显然上、下午都满场。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

由于电影院共有1987个座位,是个奇数,且为:993×2+1,因此,上午场看电影的师生中至少有一个学校的人数不少于994人,假设甲校看电影人数不少于994人,那么甲校下午看电影的人数不多于1987-994=993(人),这些学生即使全坐在上午甲校学生的座位上,也不能坐满,至少还余下一个座位,这个座位下午要坐的一定是乙校看电影的师生。8.由于比赛是单循环进行的,所以在整个比赛过程中每个运动员都要赛9场。这样在每天比赛结束时,都可以出现两种情况,一种情况是每一运动员都还没有赛9场,也就是说这9名运动员已经赛过的场数只可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8这9种。这9种可能性就是抽屉,元素是10名运动员,可见一定有两个人赛的场数是一样的。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

还有一种情况,就是已经有某个运动员赛了9场,由于是单循环,不能还有运动员没有赛过。这样10名运动员赛过的场数只可能是1,2,3,4,5,6,7,8,9这9种。还是9个抽屉10个元素。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

总之,无论是哪一种情况,一定有两个人赛的场数是一样多的。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

9.首先我们要明确在我国有12亿人口,而每个人的寿命设为不超过110岁,这样我们看一看在110年里共包括多少个4秒间隔,这个数字也就是抽屉的个数,如果这个数小于12亿,那么就可以肯定有两个人出生的时间相差不超过4秒。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

110年大致合4万天,一天有3600×24秒,这样在110年中共有3600×24×4万秒,于是4秒间隔数为3600×24×4万÷4=86400万,即八亿六千四百万。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

这就是抽屉数,元素数是12亿。于是一定有两个人在同一抽屉里,也就是说,至少有两人出生时刻相差不到4秒。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

C组:10.为了便于说明问题,我们在纸上取6个点A、B、C、D、E、F来代表6个人。如果两个人认识就用红线(图10-16中的实线)把代表他们的点连接起来,如果两个人互相不认识就用蓝线(图中的虚线)把代表两人的点连接起来,每两点之间都有一条红线或者蓝线连结着,这些点和线组成了若干个三角形。问题就转化了,如果有三个人互相认识(或不认识),那么以代表这三个人的三个点为顶点的三角形的三条边全是红色(或蓝色)的。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

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考虑从A点出发的五条线。由于它们不是红色的就是蓝色的,由抽屉原理知,至少有三条边的颜色是相同的,不妨设为AB、AC及AD为红色的。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

下面考虑点B、C、D之间的连线。如果三条连线中至少有一条是红色的,假如BC是红色的,那么△ABC的三条边全是红色的,说明A、B、C三点代表的三个人互相认识;如果三条连线全是蓝色的,则△BCD的三条边都是蓝色的,说明B、C、D三点代表的三个人互相不认识。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

11.题目是要证明有一些学生分得的课外读物的总和是10的倍数。所以可以把10个学生所分得的课外读物数的和写出来进行分析。设10个学生分得的课外读物的数分别是a1、a2、…、a10;再设s1=a1,s2=a1+a2,s3=a1+a2+a3,…,s10=a1+a2+…+a10;分别代表1个学生,2个学生……,10个学生所分得的书的总和。下面我们来分析s1,s2,s3,…,s10这10个数。自然数被10除时,余数只有10种可能的情况,即0,1,2,…,9。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

把每一个s用10去除,都各自得到一个余数。如果每一个数被10除后的余数都不相同,则必有一个s被10除余数为0,比如是S7,也就是说,前7个学生所分得的课外读物的总和是10的倍数。否则根据抽屉原则,一定有两个s,它们被10除后所得的余数相等,不妨设为S2和S8;于是S8-S2就一定能被10整除。而s8-s2=a8+a7+a5+a4+a3,也就是说第3个学生至第8个学生分得的课外读物的总和是10的倍数。这样问题就全部解决了。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

12.有了上一题的分析,这个题就变得十分简单了。设13个自然数为a1,a2,a3,…,a12,a13。用12去除每个a,得到13个商和余数。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

由于自然数被12除时,只可能有12种不同的余数,这就是要找的抽屉,13个数是元素,于是一定有两个在同一抽屉里,即它们被13除时余数是相同的,不妨设为a7=12·q1+r,a11=12·q2+r,a7-a11=12(q1-q2)是12的倍数。问题得到解决。文章源自多老师网-http://www.duolaoshi.cn/469.html

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